si
= 0.021 cm für Anodenhits aus der DC1
si=
0.14 cm für Kathodenhits aus der DC1
si=
0.15 cm für Anodenhits aus der DC2
Diese Matrix
ist, wie bereits erwähnt, diagonal.
Für eine
Spur mit zumindest ungefähr bekannten Spurparametern läßt
sich mit Hilfe von Monte-Carlo-Rechnungen (MC) eine mittlere Kovarianzmatrix
bestimmen. Dazu werden N Ereignisse mit gleichen Spurparametern, aber unterschiedlicher
MS und ein Referenzereignis ohne MS berechnet. Durch Vergleich der N gestreuten
Spuren mit der ungestreuten erhält man N Kovarianzmatrizen. Mittelt
man diese, erhält man eine durchschnittliche KM für alle Ereignisse
mit den gleichen Anfangsbedingungen. Da die ungestreute Spur und somit
deren Parameter im Fit nicht bekannt sind, nimmt man die entsprechenden
Startwerte aus dem Fit. Um eine größere Genauigkeit zu erhalten,
kann man auch jeweils für jeden Fitdurchlauf die Parameter des vorigen
nehmen und CMneu
berechnen. Somit erhält man:
(5.3)
Setzt man diese Kovarianzmatrix in den Fit ein, so erhält man sowohl gute Spurparameter als auch die richtigen Fehler [Do 91].
Um ein statistisch gutes Mittel der KM zu erhalten, bedarf es allerdings
einer großen Anzahl von Ereignissen, denn die Zahl der Freiheitsgrade
ist sehr groß. Dieses Verfahren ist aber für den Einsatz in
der Praxis unbrauchbar, da die Erzeugung der Monte-Carlos pro Ereignis
mehrere CPU-Stunden kosten würde. Es muß ein Weg gefunden werden,
die KM direkt aus den Spurdaten zu berechnen.
Diese Aufgabe wird in den nächsten Unterkapiteln erledigt. Zuerst
werden der Einfluß einer einzigen Streuung auf den weiteren Verlauf
der Spur und die Abstände zwischen gestreuter und ungestreuter Spur
berechnet (s. 5.2.1). Dies wird dann verwendet,
um die Kovarianzen für Hits im Bereich III durch die MS in der Zwischenwand
DC1/DC2 (s. 5.2.2), infolge MS im DC2-Gas (s. 5.2.3)
und im DC1-Gas (s. 5.2.4) zu bestimmen. In 5.2.5
werden die entsprechenden Formeln für die DC2-Hits (Bereich II) aufgeführt.
In 5.2.6 wird begründet, weshalb für
Hits des Bereichs I keine Kovarianzen infolge MS berechnet werden müssen,
und in 5.2.7 wird beschrieben, wie aus den einzelnen
Kovarianzen die gesamte KM berechnet wird. Die einzelnen Kapitel sind teilweise
noch weiter unterteilt nach Anoden-/Kathodenhits bzw. nach der Projektion
(x/y oder b/z), in der der Fehler berechnet wird.
Da die Vielfachstreuung
den Betrag des Gesamtimpulses P.
nicht ändert, reichen zwei Parameter, um sie anzugeben.
Davon gibt der eine (d) die Stärke der
Impulsrichtungsänderung an und der andere (F)
deren Azimutalwinkel (s. Abb 5.1). Zur Beschreibung
dieser beiden Größen ist es einfacher, vorübergehend in
einem anderen Koordinatensystem zu rechnen. Die drei orthonormalen Basisvektoren
sind:
e,
e1und
e2.
ezeigt
in Richtung des ungestreuten Impulses, die beiden anderen sind beliebig
in der Ebene senkrecht zu e. Der ungestreute Impuls ist:
(5.4)
Der gestreute
Impulsvektor läßt sich mit den drei Basisvektoren schreiben:
(5.5)
Ersetzt man
v und w durch d
und F und
fordert, daß der Gesamtimpuls erhalten bleibt, so erhält man:
(5.6)
Abb. 5.1. Räumliche Darstellung der Impulsvektoren Pund Pgmit d = tan e ; Pi = p dei (i=1,2), dies sind zwei zu P orthogonale Vektoren.Da die Vielfachstreuung als klein angenommen wird, werden im folgenden alle Formeln bis in 1. Ordnung in d taylorentwickelt. Von jetzt an bedeutet '' gleich bis auf Terme in O( d2):
Mit der
folgenden speziellen Wahl von e1 und e2
erhält man aus (5.7):
(5.9)
Hieraus lassen
sich alle weiteren Spurdaten der gestreuten Spur in Abhängigkeit der
ungestreuten berechnen. Der Spurradius R in x/y ist proportional zum Transversalimpuls
(Kap 3.1):
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
Da definitionsgemäß px=0, läßt sich
die Projektion (W) des Streuwinkels (e=arctg
d)
in die x/y Ebene aus dem Verhältnis zwischen x- und y-Impuls bestimmen:
(5.15)
(5.16)
Das Verhältnis zwischen z- und Transversalimpuls
ergibt sich zu:
(5.17)
(5.18)
(5.20)
Damit läßt sich der Abstand eines
Punktes mit Spurwinkel jg auf der
gestreuten Spur zum Mittelpunkt der ungestreuten berechnen (s. Abb.
5.2):
(5.21)
(5.22)
Da bei der Auswertung nicht zwischen den verschiedenen
Spurwinkeln unterschieden werden kann, wird ab jetzt nur jstatt
jg
geschrieben. Für die hier gemachten Berechnung in O(d
) ist dies keine weitere Näherung.
Der Abstand zum entsprechenden Punkt auf der ungestreuten
Spur ist R, damit ergibt sich der Spurfehler zu (vergleiche Kap
4.3.1):
(5.23)
Der untere bei D verwendete Index gibt an, ob es sich um den Abstand in x/y (T) oder den in z (z) handelt.
Abb. 5.2. Projektion der ungestreuten und gestreuten Spur in die x/y-Ebene. Die Streuung findet am Punkt B statt, danach laufen die Teilchen im Uhrzeigersinn.
Damit ergibt sich der Spurfehler in z zu:
(5.25)
Abb. 5.3. Die verschiedenen Spurwinkel.
(5.27)
wobei j bzw. j-Y
der Spurwinkel ab dem ersten bzw. zweiten Streupunkt
ist (s. Abb. 5.3). Der obere Index W bezeichnet die
Abweichung durch MS in der Zwischenwand.
Um die Berechnung der KM unabhängig von
einzelnen MC-Ereignissen zu machen, muß man in (5.3)
die Summe über die Ereignisse mit verschiedenen di
und Fi durch eine Integration über
diese Größen ersetzen. Dabei müssen Wahrscheinlichkeiten
für das Auftreten von di und
Fi
eingesetzt werden; diese sind voneinander unabhängig.
Die Verallgemeinerung von (5.3)
führt für ein Element der KM zu:
(5.28)
K steht als Abkürzung für die Kovarianzen
K i j (ji , jj
, d1 , d2
, F1 , F2
). Die D(ji) sind die Abstandsfunktionen
aus (5.26) bzw. (5.27). W
sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
Als Wahrscheinlichkeitsverteilung für MS
als Funktion von dkann
eine Gaußverteilung angenommen
werden. Für alle Berechnungen bis zum 2.
Grad in dgenügen
jedoch die folgenden Einschränkungen:
(5.29)
Da die Verteilung in F isotrop ist, gilt:
(5.32)
(5.33)
(5.34)
Setzt man dies in (5.28)
ein, so erhält man:
Die Indizes k und l bezeichnen die Art der Hits
bzw. die entsprechende Formel für die Abweichung, also DC1-Anode (T),
DC1-Kathode (Z) oder DC2-Anode (t). Der Index m gibt das streuende Medium
(W für Wand; G1 für DC1-Gas und G2 für DC2-Gas, die beiden
letzten werden erst in 5.2.3 und 5.2.4
behandelt) an. In den nächsten Abschnitten werden die verschiedenen
Dmk
in diese Formel eingesetzt und die Integration durch
geführt.
(5.36)
SW ist die Konstante
aus (5.31) für die MS in der Wand. Beim Vergleich
dieser Kovarianzmatrix mit der aus Monte-Carlo-Rechnungen stellt sich heraus,
daß sie für Spuren mit z-Impuls = 0 und Y~p
relativ schlecht ist. Setzt man in (5.36)z.B. a=0
und Y=p und ji=
jj
,so bleibt nur:
(5.37)
Dies ist am zweiten Streupunkt 0, d.h. die Varianz
der Hits in der Nähe des Punktes C wäre 0, sie lägen also
auf der ungestreuten Spur. Für diese Spuren ist somit der 1. Grad
in dfür die Berechnung von DWT
nicht ausreichend. Eine komplette Berechnung
DWT
bis zum 2. Grad ergibt einen sehr umfangreichen Term. Da aber nur Spuren
mit a~0 betroffen sind, können Terme in
ad2vernachlässigt
werden. Man erhält für die Parameter der gestreuten Spur:
(5.38)
(5.39)
(5.40)
Berechnet man damit den Fehler der Spur, so erhält
man zusätzlich zu den Termen in (5.23):
(5.41)
Da dieser Zusatzterm nur nach etwa einem halben Umlauf wichtig ist, braucht er nur bei der ersten Streuung, nämlich der in Punkt B, berücksichtigt zu werden. Aus (5.26) wird so:
(5.42)
Um dies über die Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu integrieren, reichen (5.29) bis (5.31) nicht mehr aus, man braucht noch das Integral: int(-inf,inf) d4 W(d) dd. Nimmt man für W(d) eine Gaußverteilung an, erhält man:
(5.43)
Damit kann der Zusatzterm zu (5.36)
berechnet werden:
(5.44)
(5.45)
Da die Probleme bei a) nur durch die Krümmung der Spur auftraten, ist es hier nicht nötig, höhere Ordnungen in d zu berechnen. Auch bei allen folgenden Beiträgen zur Kovarianzmatrix ist dies nicht nötig.
j1 ist der Spurwinkel des Anoden- und j2 der des Kathodenhits.
Eine lineare Abhängigkeit von dW
erhält man aus dem Fit. Vergleicht man dies
aber mit den später berechneten Formeln für Vielfachstreuung
im Gas, so erhält man das gleiche Ergebnis. Dabei muß man berücksichtigen,
daß die in der Wand zurückgelegte
Strecke klein im Vergleich zu der Strecke vom
Streuzentrum bis zum betrachteten Hit ist.
Die Abhängigkeit von der Energie (E) des
Elektrons ist aus den vier Daten nur abzuschätzen. Die Werte liegen
etwa auf einer Geraden (s. Abb. 5.4). Eine lineare
Regression ergibt:
(5.48)
Abb. 5.4. Die Abhängigkeit SW2 von der Energie des Elektrons.
(5.49)
Die di und Fi der einzelnen Streuzentren sind hier zu Vektoren zusammengefaßt. Zur Berechnung der Kovarianzen werden jeweils Produkte zweier solcher Terme benötigt:
(5.50)
Integriert man dies über diund dkmit der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktion für alle i, k (also N Integrale) und faßt alle von unabhängigen Terme zu F zusammen, so erhält man:
(5.51)
In der Doppelsumme fallen alle Terme weg, bei denen i und j verschieden sind (wegen der Symmetrie 5.30). Die Doppelsumme wird so zu einer einfachen:
(5.52)
Wegen (5.28) und (5.30) kann man das Integral über d1 wie folgt abtrennen:
(5.53)
Dies geht entsprechend mit allen anderen di
, man erhält eine Summe von Integralen der Form:
(5.54)
In dieser Form kann man jetzt einfach den Übergang
von der Summe über i zum Integral über die Strecke (ds) in der
DC2 durchführen. Setzt man wieder statt F die richtige Funktion ein
und integriert auch über F, so erhält
man:
Dies entspricht (5.35), aber ohne Näherung für kleine Strecken im streuenden Medium. Da hier nicht über eine Strecke sondern über den Spurwinkel Y in der DC2 integriert wird, mußte noch mit R*(1+a2)1/2multipliziert werden. Außerdem ist es notwendig, vom Quadrat des Streuwinkels zum differentiellen Quadrat des Streuwinkels überzugehen. Dies wird durch eine Umdefinierung von d2 bzw. später von S2Gi berücksichtigt:
(5.56)
(5.59)
Bei dieser Formel ist die Reihenfolge der Indizes
T und Z wichtig. Wie bei (5.35) definiert entspricht
j1
dem ersten Index, hier T, ist also der Spurwinkel des Anodenhits, entsprechend
ist j2 der Spurwinkel
des Kathodenhits.
(5.62)
(5.63)
(5.67)
(5.68)
Wie bereits bei (5.35) erwähnt wird für DC2-Anoden der Index t benutzt. Eine Kovarianz KWzZ gibt es nicht, da es in der DC2 keine Kathoden gibt.
(5.70)
(5.71)
Zu den Diagonalelementen werden noch die Varianzen aus den Hitfehlern addiert (CH)(s. Kap. 5.1) und falls gewünscht, dazu noch die KM durch Energieverlust (CL) (s.Kap. 6) addiert (s. Abb 6.6). Bei der Inversion wird nur der nichtdiagonale Teil (Bereiche II und III) mit Hilfe der Routine spxinv aus der CERN-Library invertiert. Beim diagonalen Teil brauchen nur die Diagonalelemente einzeln invertiert zu werden. Im Regelfall wird diese KM für alle Fitdurchgänge verwendet. Im Fall, daß Hits bei einer Iterationsstufe wegfallen oder hinzukommen, wird die KM neu berechnet.
Vergleicht man die so erhaltene Matrix CS
mit der aus Monte-Carlos CM
so erkennt man die gleiche Struktur. Im Detail gibt es wie erwartet Unterschiede;
diese sind aber auch zwischen mehreren CM
aus unterschiedlichen Monte-Carlos zu beobachten. Zu
sätzlich erschwert wird der Vergleich dadurch,
daß bei der Berechnung von
CM
und CS teilweise
unterschiedliche Hits verwendet werden. Die beiden Matrizen haben so unterschiedliche
Dimensionen (s. Abb. 5.5)
(a)
(b)
Abb. 5.5. Vergleich der mit TRACKFIT berechneten Kovarianzmatrix (b) mit der aus Monte-Carlos berechneten (a). Die unterschiedliche Dimension liegt daran, daß bei (a) nur die Hits verwendet werden konnten, die bei fast allen Events vorkommen.
(5.71)
und trägt darüber die Häufigkeit
auf, sollte sich eine N(0,1)-Verteilung
ergeben. Bei dem Fit mit diagonaler KM erhält man eine N(-2.7,4.3)-Verteilung
(s. Abb. 5.6.b). Die Abweichung des Mittelwertes
ist besser zu interpretieren, wenn man pG-pT
betrachtet (s. Abb. 5.6.a). Der gefittete
Impuls ist durchschnittlich 0.18 MeV/c geringer als der aus dem GEANT.
Dies ist dadurch zu erklären, daß das TRACKFIT zwar den Impuls
am Punkt A berechnet, aber da ein konstanter Gesamtimpuls angenommen wird,
erhält man einen zu niedrigen Impuls. Der gefittete Impuls liegt zwischen
dem an Punkt A und dem an Punkt D. Die Breite der Verteilung von 4.3 sagt
aus, daß der vom TRACKFIT ausgegebene Fehler um einen Faktor 4.3
aus o.g. Gründen zu klein ist.
Berücksichtigt man beim Fit die MS, aber
nicht den Energieverlust (s. Abb. 5.6.c und
d), so wird die Breite der Verteilung besser. Man erhält eine
Breite von 1.3. Dies zeigt, daß die Fehlerberechnung durch Einführen
der Vielfachstreuung in die Berechnung der KM fast richtig geworden ist.
(a) (b)
(c)
(d)
Abb. 5.6. Impulsfehler des TRACKFIT [(a) und (c)] und normierter Impulsfehler DpN [(b) und (d)] aus Monte-Carlos von l-6 e- Ereignissen mit Vielfachstreuung (MS) und Energieverlust (EL). (a) und (b) ohne Berücksichtigung von MS und EL im Fit, (c) und (d) nur mit Berücksichtigung von MS. Gefittet wurde nur mit den DC1-Hits. Die Anpassung der Gaußkurven ist v.a. in (b) schlecht. Um Mittelwert und Breite der Verteilung zu bestimmen, ist die Genauigkeit ausreichend.
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